Kasparow wurde am 13. April 1963 als Garik Weinstein in Baku geboren. Seine Mutter Klara Schagenowna Kasparjan war Armenierin und stammte aus Bergkarabach, einer armenisch besiedelten Enklave in Aserbaidschan. Sie war Musiklehrerin. Sein jüdischer Vater Kim Moissejewitsch Weinstein, der selbst Violine spielte, war der Bruder des aserbaidschanischen Komponisten Leonid Weinstein. Beide Eltern verfügten über eine Hochschulbildung und ließen ihren Sohn bereits frühzeitig eine Atmosphäre von Intellekt und Bildung genießen.